Nilalaman

• Mga Hakbang
• Mga tip

Ang mga matematika at graphic programmer ay madalas na kailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Sa kabutihang palad, ang pormula na ginamit upang makalkula ang anggulo na ito ay hindi nangangailangan ng higit pa sa isang simpleng produkto ng scalar. Bagaman ang pangangatuwiran sa likod ng pormula na ito ay mas madaling maunawaan kapag gumagamit ng dalawang-dimensional na mga vectors, madali naming maiangkop ito sa mga vectors na may anumang bilang ng mga sangkap.

Mga Hakbang

Bahagi 1 ng 2: Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors

1. 

   Kilalanin ang dalawang vectors. Isulat ang lahat ng mga kilalang impormasyon tungkol sa dalawang vectors. Para sa layunin ng tutorial na ito, ipalagay namin na alam mo lamang ang mga vectors sa mga tuntunin ng kanilang mga dimensional na coordinate (tinatawag din na mga sangkap). Kung alam mo na ang modyul o pamantayan ng mga vectors na ito (ang haba nito), maaari mong laktawan ang ilan sa mga hakbang sa ibaba.
   • Halimbawa: isasaalang-alang namin ang dalawang-dimensional na vectors = (2,2) at = (0,3). Ang dalawang vectors na ito ay maaaring muling isulat bilang = 2ako + 2j e = 0ako + 3j = 3j.
   • Bagaman ang aming halimbawa ay gumagamit ng dalawang two-dimensional vectors, maaari naming ilapat ang sumusunod na mga tagubilin sa mga vectors na may anumang bilang ng mga sangkap.

2. 

   
   
   Isulat ang formula ng kosine. Upang malaman ang halaga ng anggulo θ sa pagitan ng anumang dalawang mga vectors, kailangan muna nating kalkulahin ang kosine ng anggulong iyon. Maaari kang maghanap at malaman ang pormula nang detalyado o simpleng isulat ito tulad ng nasa ibaba:
   • kosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| ay kumakatawan sa modyul (o haba) ng vector ".
   • • kumakatawan sa produkto ng scalar (o panloob na produkto) ng dalawang vectors.

3. 

   
   
   Kalkulahin ang modulus ng bawat vector. Isipin ang isang tamang tatsulok na nabuo ng sangkap x ng isang vector, ang sangkap nito y at ang vector mismo. Sa tatsulok na ito, ang vector ay gumaganap ng papel ng hypotenuse; samakatuwid, upang mahanap ang haba nito, ilalapat namin ang teyema ng Pythagorean. Bilang isang resulta, ang pormula na ito ay madaling naaangkop sa mga vector na may anumang bilang ng mga sangkap.
   • || u || = u₁ + u₂. Kung ang vector ay may higit sa dalawang sangkap, magpatuloy lamang sa pagdaragdag + u₃ + u₄ +...
   • Samakatuwid, para sa isang dalawang-dimensional na vector, kakailanganin namin || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Sa aming halimbawa, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Kalkulahin ang produkto ng scalar sa pagitan ng dalawang vectors. Dapat mo nang malaman ang pamamaraan para sa pagpaparami ng mga vector, na tinatawag din produkto ng scalar. Upang makalkula ang produktong scalar ng dalawang vectors sa mga tuntunin ng kanilang mga sangkap, pinarami namin ang mga sangkap sa parehong direksyon sa bawat isa at pagkatapos ay idagdag ang mga resulta ng mga produktong iyon.
   • Kung nagtatrabaho ka sa mga programa ng computer graphics, bisitahin muna ang seksyong "Mga Tip" bago magpatuloy.
   • Sa mga salitang pang-matematika, • = u₁v₁ + u₂v₂, kung saan u = (u₁, u₂). Kung ang iyong vector ay may higit sa dalawang sangkap, magpatuloy lamang sa pagdaragdag + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Sa aming halimbawa, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ito ang halaga ng produkto ng scalar sa pagitan ng mga vectors at.

5. 

   Palitin ang mga resulta na ito sa formula ng kosine. Tandaan, kosθ = (•) / (|||| || ||). Namin na kinakalkula ang produkto ng scalar at ang module ng dalawang vectors. Ngayon, palitan natin ang mga halagang ito sa pormula at kalkulahin ang kosine ng anggulo.
   • Sa aming halimbawa, ang cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Hanapin ang anggulo batay sa iyong kosina.
   Gamitin ang arc o cos function ng iyong calculator upang matukoy ang anggulo mula sa iyong halaga ng kosine. Sa ilang mga kaso, maaari mong mahanap ang halaga ng anggulo batay sa bilog ng yunit.
   • Sa aming halimbawa, ang cosθ = √2 / 2. I-type ang "arccos (√2 ​​/ 2)" sa iyong calculator upang mahanap ang anggulo. Ang isa pang pagpipilian ay ang paghahanap para sa anggulo θ ng yunit ng bilog kung saan ang cosθ = √2 / 2: ito ay magiging totoo para sa θ = /₄ o 45 °.
   • Ang pagsasama-sama ng lahat ng impormasyon, magkakaroon kami ng pangwakas na pormula θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Bahagi 2 ng 2: Ang pagtukoy ng formula para sa pagkalkula ng anggulo

1. 

   Unawain ang layunin ng pormula. Ang formula na ginamit namin upang makalkula ang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay hindi nagmula sa mga nauna nang umiiral na mga patakaran; sa halip, ito ay nilikha bilang isang kahulugan ng produkto ng scalar sa pagitan ng dalawang vectors at ang anggulo sa pagitan nila. Gayunpaman, ang desisyon na ito ay hindi sinasadya. Sa isang mas malapit na pagtingin sa pangunahing geometry, makikita natin kung bakit ang formula na ito ay nagreresulta sa gayong kapaki-pakinabang at madaling maunawaan na mga kahulugan.
   • Ang mga sumusunod na halimbawa ay gumagamit ng mga two-dimensional vectors dahil sila ang pinaka madaling maunawaan na uri upang gumana. Ang mga Vector ng tatlo o higit pang mga sukat ay may mga katangian na tinukoy mula sa pangkalahatang pormula (din sa katulad na paraan).

2. 

   Suriin ang batas ng kosine. Sa anumang tatsulok, isaalang-alang ang anggulo θ na nabuo ng mga panig Ang at B at ang tagiliran ç kabaligtaran ang anggulo na iyon. Ayon sa batas ng kosine, c = a + b -2abbaywang(θ). Ang pagpapakita ng formula na ito ay madaling makuha mula sa kaalaman ng mga pangunahing geometry.

3. 

   Ikonekta ang dalawang vectors upang makabuo ng isang tatsulok. Gumuhit ng isang pares ng mga vectors, at, na may isang anggulo θ sa pagitan nila. Pagkatapos, gumuhit ng isang pangatlong vector sa pagitan nila upang makabuo ng isang tatsulok. Sa madaling salita, iguhit ang vector na tulad ng + =, o simpleng = -.

4. 

   Ilapat ang batas ng kosine sa tatsulok na ito. Palitan ang haba ng mga panig ng ating tatsulok na vector (iyon ay, ang module ng vector) sa pormula para sa batas ng kosine:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||baywang(θ)

5. 

   Isulat muli ang formula gamit ang mga produktong scalar. Tandaan na ang produkto ng tuldok ay ang pagpapalaki ng isang vector na inaasahang sa isa pa. Ang produktong scalar ng isang vector mismo ay hindi nangangailangan ng projection sapagkat walang pagbabago sa direksyon. Nangangahulugan ito na • = || a ||. Batay sa impormasyong ito, muling isulat ang equation ng cosine law:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||baywang(θ)

6. 

   Pasimplehin ang pormula. Palawakin ang mga produkto sa kaliwang bahagi ng equation at pagkatapos ay gawing simple hanggang sa maabot mo ang formula na alam namin para sa pagkalkula ng mga anggulo.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||baywang(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||baywang(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||baywang(θ)
   • • = || a || || b ||baywang(θ)

Mga tip

• Para sa mabilis na paglutas, ilapat ang sumusunod na formula sa anumang dalawang-dimensional na pares ng vector: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Kung nagtatrabaho ka sa mga programa ng computer graphics, malamang na kailangan mo lamang malaman ang direksyon ng mga vectors, hindi ang kanilang haba. Sundin ang mga hakbang sa ibaba upang gawing simple ang mga equation at pabilisin ang iyong programa:
  • Pag-normalize ang bawat vector, iyon ay, hanapin ang yunit ng vector na may parehong direksyon tulad ng orihinal na vector. Upang gawin ito, hatiin ang bawat bahagi ng vector ng module ng vector.
  • Kalkulahin ang produkto ng scalar ng mga na-normalize na vectors, hindi ang orihinal na mga vectors.
  • Dahil ang modulus (iyon ay, ang haba) ng mga na-normalize na mga vectors ay hindi nag-iisa, maaari nating iwanan ang mga ito sa formula. Ang iyong pangwakas na equation para sa pagkalkula ng mga anggulo ay magiging mga arko (•).
• Batay sa pormula ng batas ng kosine, mabilis nating malaman kung ang anggulo na pinag-uusapan ay talamak o akitin. Magsimula sa kosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Ang kaliwa at kanang panig ng ekwasyon ay dapat magkaroon ng parehong tanda (positibo o negatibo).
  • Habang ang mga haba ay palaging positibo, ang cosθ ay palaging magkakaroon ng parehong pag-sign bilang ang produkto ng scalar.
  • Samakatuwid, kung ang produkto ng scalar ay positibo, ang kosθ ay magiging positibo. Nangangahulugan ito na ang anggulo ay nasa unang kuwadrante ng yunit ng bilog, iyon ay, θ <π / 2 o 90 °. Samakatuwid, ang anggulo ay talamak.
  • Kung negatibo ang produktong scalar, negatibo ang kosθ. Nangangahulugan ito na ang anggulo ay nasa pangalawang kuwadrante ng bilog ng yunit, iyon ay, π / 2 <θ ≤ π o 90 ° <θ ≤ 180 °. Samakatuwid, ang anggulo ay mapapalitan.