Nilalaman

• Mga Hakbang
• Mga tip

Ang Calculus ay isang sangay ng matematika na nakatuon sa mga limitasyon, function, derivatives, integral at walang katapusang serye. Ang temang ito ay binubuo ng isang malaking bahagi ng matematika at nagsisilbing isang pundasyon para sa marami sa mga equation na may kakayahang ilarawan ang pisika at mekanika. Marahil kakailanganin mo ng mga klase sa unibersidad upang simulan mong maunawaan ka nang mabuti, ngunit ang artikulong ito ay magsisilbi bilang isang pagpapakilala at makakatulong sa iyo na makita ang mga mahahalagang konsepto at teknikal na mga puntos.

Mga Hakbang

Paraan 1 ng 3: Sinusuri ang Mga Pangunahing Kaalaman sa Pagkalkula

1. 

   Maunawaan na ang calculus ay ang pag-aaral kung paano nagbabago ang mga bagay. Ito ay isang sangay ng matematika na pinag-aaralan ang mga linya at numero, karaniwang nagmula sa totoong mundo, at bumubuo ng isang mapa kung paano sila nagbago sa paglipas ng panahon. Bagaman hindi ito kapaki-pakinabang isang priori, ang calculus ay isa sa mga pinaka-malawak na ginagamit na sanga ng matematika sa buong mundo. Isipin ang pagkakaroon ng mga tool sa kamay upang suriin ang bilis ng paglago ng iyong negosyo o upang makabuo ng isang graph ng tilapon ng isang rocket at pagkonsumo ng gasolina. Ang Calculus ay isang mahalagang tool sa engineering, ekonomiya, istatistika, kimika at pisika, bilang karagdagan sa pagtulong sa mga pagtuklas at paglikha ng maraming tunay na mga imbensyon.

2. 

   
   
   Tandaan na ang mga pag-andar ay kumakatawan sa mga relasyon sa pagitan ng dalawang numero at ginagamit upang mapa ang mga relasyon sa totoong mundo. Ang mga pagpapaandar ay mga patakaran kung saan ang mga numero ay nauugnay sa bawat isa - at ginagamit ito ng mga matematiko upang lumikha ng mga grap. Sa isang function, ang bawat input ay may eksaktong isang output. Halimbawa, sa, ang bawat halaga ay nagdadala ng isang bagong halaga ng. Kung noon. Kung, sa turn, kung gayon. Ang lahat ng mga pagkalkula ng pag-aaral upang pag-aralan kung paano sila nagbabago, gamit ang mga ito upang mapa ang mga relasyon sa totoong mundo.
   • Ang mga function ay karaniwang nakasulat sa format. Sa madaling salita, ang pag-andar ay palaging idagdag sa anumang numero na kinakatawan ng. Kung tugma mo ito, halimbawa, isulat lamang o.
   • Ang mga pag-andar ay maaari ring mapa ang mga kumplikadong paggalaw. Halimbawa, ang NASA, ay may isang function na may kakayahang ilarawan ang bilis ng isang rocket batay sa dami ng natupok na gasolina, ang paglaban ng hangin at ang bigat nito.

3. 

   
   
   Isipin ang konsepto ng kawalang-hanggan. Nangyayari ito kapag paulit-ulit mong inuulit ang isang proseso at walang hanggan. Hindi ito isang tiyak na espasyo (hindi ka maaaring pumunta sa kawalang-hanggan), ngunit ang pag-uugali ng isang numero o isang equation na sumusulong nang walang hanggan. Mahalaga ito kapag sinusuri ang pagkakaiba-iba: baka nais mong malaman ang bilis ng isang kotse sa isang puntong, ngunit kumakatawan ba ito sa pangalawa? Millisecond? Nanosecond? Maaari kang makahanap ng mga halaga para sa hindi kapani-paniwalang tumpak na mga panahon - at doon ay ang pagkalkula ay gumagana ng magic.

4. 

   
   
   Unawain ang konsepto ng mga limitasyon. Ang limitasyon ay nagpapahiwatig kung ano ang mangyayari kapag ang isang bagay ay lumalapit sa kawalang-hanggan. Kunin ang numero at hatiin ito. Patuloy na hatiin ito sa pamamagitan ng patuloy na. Ang bilang ay magiging, sa, sa, sa, at iba pa. Sa bawat bagong pag-ulit, ang bilang ay nagiging mas maliit, "papalapit". Ngunit saan ito titigil? Gaano karaming beses mong hatiin ito upang makapasok? Sa pagkalkula, sa halip na sagutin ang tanong na iyon, tinukoy mo ang isang limitasyon. Sa pagkakataong iyon, ang limitasyon.
   • Ang mga limitasyon ay mas madaling makita sa isang graph - halos mahawakan ang mga puntos, ngunit hindi direkta.
   • Ang mga limitasyon ay maaaring maging isang bilang, walang hanggan o kahit na walang umiiral. Sa isang halimbawa, maaari kang magdagdag ng magpakailanman at ang halaga ay magiging walang hanggan malaki. Ang hangganan, sa turn, ay magiging walang hanggan.

5. 

   Suriin ang mga mahahalagang konsepto sa matematika mula sa algebra, trigonometry at precalculus. Ang pagkalkula ay batay sa marami sa ramifications ng matematika na iyong natutunan sa buong buhay mo. Ang pag-alam sa mga ito ay lubos na mapadali ang pag-aaral at pag-unawa sa disiplina na ito. Ang ilan sa mga ito ay susuriin ay:
   • Algebra. Maunawaan ang iba't ibang mga proseso at magawang malutas ang mga equation at system ng mga equation na may maraming mga variable. Unawain ang mga pangunahing konsepto ng mga set. Pag-graphic ng isang equation.
   • Geometry. Ang geometry ay ang pag-aaral ng mga form. Maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng mga tatsulok, mga parisukat at bilog at kung paano magsagawa ng mga kalkulasyon tulad ng lugar at perimeter. Unawain ang mga anggulo, linya at coordinate system.
   • Trigonometry. Ang Trigonometry ay isang sangay ng matematika na may kinalaman sa mga katangian ng mga bilog at kanang tatsulok. Alamin kung paano gamitin ang mga pagkakakilanlan ng trigonometriko, grap, pag-andar at kabaligtaran ng mga function na trigonometriko.

6. 

   Bumili ng calculator ng graphing. Ang pagkalkula ay hindi madaling lugar upang maunawaan nang hindi mo nakikita ang iyong ginagawa. Ang mga graphing calculator ay tumatanggap ng data ng pag-andar at ipinakita ito nang biswal, na nagpapagana ng isang mas mahusay na pag-unawa sa mga equation na isinulat at manipulado. Madalas din na makita ang mga limitasyon sa screen at awtomatikong makalkula ang mga derivatives at awtomatikong gumana.
   • Maraming mga telepono at tablet na nag-aalok ng napaka-karampatang mga aplikasyon ng grapiko, kung hindi mo nais na bumili ng isang calculator ng graphing.

Paraan 2 ng 3: Pag-unawa sa Mga derivatibo

1. 

   Unawain na ang pagkalkula ay ginagamit upang pag-aralan ang "instant instant variation". Alam kung bakit ang isang bagay ay nagbabago sa isang instant ay ang batayan ng buong pagkalkula. Ipinapahiwatig nito, halimbawa, hindi lamang ang bilis ng kotse, ngunit sa kung anong bilis ay nag-iiba ito sa anumang oras. Ito ay isa sa pinakasimpleng paggamit ng calculus, kahit na hindi pa rin kapani-paniwala mahalaga. Isipin kung gaano kapaki-pakinabang ang kaalamang ito kapag sinusuri ang bilis ng isang rocket na sumusubok na maabot ang buwan!
   • Ang pagkalkula ng agarang pagkakaiba-iba ay isang bagay na tinatawag pagkita ng kaibahan. Ang pagkakaiba-iba ng calculus ay ang una sa dalawang pangunahing mga lugar.

2. 

   Gumamit ng mga derivatives upang maunawaan kung paano agad na nag-iiba ang mga bagay. Ang "derivative" ay isang magarbong termino na nagdudulot ng pagkabalisa sa marami. Ang konsepto, gayunpaman, ay hindi napakahirap maunawaan - nangangahulugan lamang ito na "ang bilis ng pagkakaiba-iba ng isang bagay". Ang pinakakaraniwang derivatives sa pang-araw-araw na buhay ay nauugnay sa bilis. Marahil ay hindi mo sasabihin na "nagmula sa bilis", ngunit ang pagpabilis.
   • Ang pagbilis ay mismo ay isang hinango - ipinapahiwatig nito kung gaano kabilis ang isang bagay na nagpapabilis o nag-decelerate, o nagbabago sa bilis.

3. 

   Maunawaan na ang rate ng pagbabago ay ang slope sa pagitan ng dalawang puntos. Ito ay isa sa mga pangunahing punto sa pagkalkula. Ang rate ng pagbabago sa pagitan ng dalawang puntos ay katumbas ng slope ng linya na nag-uugnay sa mga ito. Mag-isip ng isang pangunahing linya, tulad ng sa kaso ng equation. Ang dalisdis nito ay magiging katumbas, na nagpapahiwatig na para sa bawat bagong halaga ng, nag-iiba ito sa mga yunit. Ang dalisdis ay ang parehong konsepto ng rate ng pagbabago - ang dalisdis na katumbas upang ipahiwatig na ang linya ay nag-iiba sa mga yunit para sa bawat pagbabago sa. Kailan , . Kailan , .
   • Ang slope ng isang linya ay pagkakaiba-iba sanahahati sa pagkakaiba-iba sa .
   • Ang mas mataas na slope, ang steeper ang tuwid. Masasabi na ang mga kasong ito ay nag-iiba nang napakabilis.
   • Kung hindi mo matandaan kung paano mahanap ang slope ng isang linya, tandaan ang mga konseptong ito.

4. 

   Alamin na maaari mong kalkulahin ang slope ng mga curved na linya. Ang paghahanap ng slope ng isang linya ay karaniwang isang napaka-simpleng proseso: magkano ang nag-iiba para sa bawat halaga ng? Ang mga kumplikadong equation na kinasasangkutan ng mga hubog na linya, tulad ng, ay mas mahirap matukoy. Gayunpaman, posible na mahanap ang rate ng pagbabago sa pagitan ng dalawang puntos - gumuhit lamang ng isang linya sa pagitan nila at kalkulahin ang slope.
   • Sa, halimbawa, maaari mong pag-aralan ang anumang dalawang puntos upang makuha ang slope. Pagmasdan at. Ang dalisdis sa pagitan nila ay magiging katumbas ng. Sa madaling salita, ang rate ng pagbabago sa pagitan at katumbas ng.

5. 

   Dalhin ang mga puntos na malapit nang magkasama para sa isang mas tumpak na rate ng pagbabago. Kung mas malapit sila, mas tumpak ang iyong tugon. Ipagpalagay na nais mong malaman kung magkano ang iyong sasakyan na pabilis sa eksaktong sandali na pinindot mo ang pedal. Ito ay hindi isang bagay ng pagsukat ng pagkakaiba-iba sa pagitan ng iyong bahay at merkado, ngunit sa eksaktong pangalawa ang pedal ay pinindot. Ang mas tumpak na pagsukat ay sa sandaling iyon, mas tumpak din ito.
   • Halimbawa, maraming mga siyentipiko ang nag-aaral kung gaano kabilis ang ilang mga species ay pupunta sa pagkalipol upang mai-save ang mga ito. Gayunpaman, mas maraming mga hayop ang namatay sa taglamig kaysa sa tag-araw, kaya ang pag-aaral ng pagkakaiba-iba nito sa buong taon ay hindi gaanong kapaki-pakinabang - makakahanap sila ng mas tumpak na mga resulta sa pagitan ng mga mas malapit na puntos, tulad ng sa pagitan ng mga unang araw ng Hulyo at Agosto.

6. 

   Gumamit ng walang hanggan maliit na linya upang mahanap ang "instant instant rate ng pagbabago", o ang derivative. Ito ay kung saan ang pagkalkula ay nakakakuha ng nalilito, ngunit ito ay bunga lamang ng dalawang simpleng katotohanan. Una, alam mo na ang slope ng isang linya ay katumbas ng bilis ng pagkakaiba-iba na ito. Pangalawa, alam mo na ang mas malapit na mga puntos ay nasa linya na iyon, mas tumpak ang iyong pagbabasa. Ngunit paano mo matukoy ang rate ng pagbabago sa isang punto kung ang slope ay ang relasyon sa pagitan ng dalawang puntos? Ang sagot: pumili ka ng dalawang puntos na walang hanggan malapit sa bawat isa.
   • Isipin ang halimbawa kung saan nagpatuloy kang naghahati nang magkakasunod, umaabot, isang, at iba pa. Sa ilang sandali, napakalapit mo na ang sagot ay nagiging "praktikal". Dito, ang mga puntos ay napakalapit na magkasama na sila ay itinuturing na "praktikal na agad". Iyon ang likas na katangian ng mga derivatibo.

7. 

   Alamin kung paano haharapin ang iba't ibang mga derivatives. Maraming iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng isang derivative depende sa equation, ngunit ang karamihan sa mga ito ay may katuturan kung naalala mo ang mga pangunahing prinsipyo na nabanggit kanina. Ang mga ito ay walang higit pa sa isang paraan ng pagkalkula ng dalisdis ng linya na "walang hanggan na maliit". Ngayon na alam mo ang teorya sa likod ng mga derivatives, ang karamihan sa trabaho ay sa paghahanap ng mga sagot.

8. 

   Hanapin ang mga equation ng derivative upang mahulaan ang rate ng pagbabago sa anumang punto. Ang paggamit ng mga derivatives na makarating sa rate ng pagbabago sa isang punto ay lubos na kapaki-pakinabang, ngunit ang kagandahan ng pagkalkula ay namamalagi sa mga posibilidad na dala nito upang lumikha ng isang bagong modelo para sa bawat pag-andar. Ang pinagmulan ng, halimbawa, ay. Sa madaling salita, maaari mong matukoy ang pinagmulan ng bawat punto sa graph sa pamamagitan lamang ng pagpasok nito sa formula na natagpuan. Sa puntong ito, kung saan, ang derivative ay magiging katumbas ng, mula pa.
   • Mayroong iba't ibang mga notasyon para sa mga derivatibo. Sa nakaraang hakbang, nilagyan sila ng label na may isang apostrophe - ang hinango na isinulat bilang ("linya ng epsilon"). Ito ang notasyon ng Lagrange.
   • Mayroon ding isa pang tanyag na paraan ng pagsulat ng derivatibo. Sa halip na gamitin ang apostrophe, magsusulat ka. Tandaan na ang pag-andar ay nakasalalay sa variable. Samakatuwid, ang derivative ay nakasulat bilang, iyon ay, ang hinango ng nang may paggalang Ang. Ito ang notasyon ni Leibniz.

9. 

   Kung nagkakaproblema ka pa rin, alalahanin ang totoong halimbawa ng mga derivatibo. Ang pinakamadaling halimbawa ay batay sa bilis, na nag-aalok ng maraming iba't ibang mga derivatives araw-araw. Huwag kalimutan: 'ang derivative ay isang sukatan ng pagkakaiba-iba ng bilis. Mag-isip ng isang pangunahing eksperimento: ikaw ay lumiligid na mga marmol sa isang mesa at sukatin kung gaano kalayo ito gumagalaw at kung anong bilis. Isipin na ngayon na ang marmol ay nagpo-project ng isang linya sa isang graph - gagamitin mo ang mga derivatives upang masukat ang mga instant na pagkakaiba-iba sa anumang punto dito.
   • Gaano kabilis ang posisyon ng pagbabago ng marmol? Ano ang rate ng pagbabago, o ang derivative, ng kilusang ito? Ang derivative na ito ay kumakatawan sa tinatawag mong "bilis".
   • I-roll ang marmol sa isang hilig na eroplano at pagmasdan kung gaano kabilis makamit ang bilis. Ano ang rate ng pagbabago, o nagmula sa bilis na iyon? Ang derivative na ito ay kumakatawan sa tinatawag mong "acceleration".
   • I-roll ang marmol sa isang landas na pataas at pababa tulad ng isang roller coaster. Gaano katagal ito nakakakuha ng bilis sa down down o mawala ito sa paraan up? Ano ang kanyang bilis nang eksakto sa kalahati? Iyon ang magiging instant, o nagmula, rate ng pagbabago ng marmol sa eksaktong puntong iyon.

Paraan 3 ng 3: Pag-unawa sa mga Integral

1. 

   Unawain na ang pagkalkula ay ginagamit upang makahanap ng mga kumplikadong lugar at dami. Ginagawang posible upang masukat ang mga kumplikadong hugis na kung hindi man ay labis na mahirap. Isipin, halimbawa, ang paghanap ng kung gaano karaming tubig sa isang malaki, hindi pantay na lawa - imposibleng masukat nang hiwalay ang bawat galon ng tubig o gumamit ng isang pinuno upang masuri ang hugis nito. Pinapayagan ka ng pagkalkula na pag-aralan kung paano nag-iiba ang mga gilid ng lawa at gamitin ang data na ito upang malaman kung magkano ang tubig na nilalaman nito.
   • Ang paglikha ng mga modelo ng heograpiya at pag-aaral ng dami ay gumagamit ng pagsasama. Ito ang pangalawang pangunahing sangay ng pagkalkula.

2. 

   Unawain na ang pagsasama ay hahanapin ang lugar na umiiral sa ilalim ng isang grap. Ginagamit ito upang masuri kung magkano ang puwang doon sa loob ng anumang linya, na nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula ang lugar sa kakaiba at hindi regular na mga hugis. Kunin ang equation, na gumagawa ng isang baligtad na "U". Maaari mong malaman kung magkano ang puwang sa ilalim nito - at maaari mong gamitin ang pagsasama upang malaman. Bagaman tila walang saysay na kaalaman, pag-isipan ang mga posibleng paggamit sa pagtahi: maaari kang lumikha ng isang function na mukhang isang bagong seksyon at isama ito upang matukoy ang iyong lugar, sa gayon malalaman ang tamang dami ng materyal na gagamitin.

3. 

   Unawain na kailangan mong pumili ng isang lugar upang maisama. Hindi posible na isama lamang ang isang buong pag-andar. Sa, halimbawa, mayroon kang isang linya ng dayagonal na nagpapatuloy magpakailanman, imposible na ganap na isama ito sapagkat hindi ito natatapos. Kapag pagsasama ng mga pag-andar, kinakailangan upang pumili ng isang lugar, tulad ng kapag tinukoy ang lahat ng mga puntos sa pagitan at.

4. 

   Alalahanin kung paano makuha ang lugar ng isang rektanggulo. Isipin na mayroon kang isang linya sa isang graph, tulad. Upang matukoy ang lugar sa ilalim nito, magiging tulad ng pagkalkula ng lugar ng isang rektanggulo sa pagitan at. Madali ito, ngunit hindi ito gagana sa mga hubog na linya na hindi madaling mababago sa mga parihaba.

5. 

   Maunawaan na ang pagsasama ay nagdaragdag ng ilang maliliit na parihaba upang makalkula ang lugar. Kapag papalapit na malapit sa isang kurba, mukhang tuwid. Nangyayari ito kahit na sa iyong pang-araw-araw na buhay - hindi mo napansin ang curvature ng Earth dahil masyadong malapit kami sa ibabaw. Ang pagsasama ay lumilikha ng isang walang hanggan bilang ng mga maliliit na parihaba sa ilalim ng isang curve na napakaliit na tila hindi malalim, na ginagawang mas madaling masukat. Idagdag ang mga ito nang magkasama upang makuha ang lugar sa ilalim ng curve.
   • Isipin ang pagdaragdag ng ilang mga manipis na hiwa sa ilalim ng graph, na may lapad ng bawat isa na "susunod" na.

6. 

   Alamin kung paano basahin at isulat nang tama ang mga integral. Dumating sila sa apat na bahagi, na may isang integral na karaniwang ipinahayag tulad ng sumusunod:
   
   
   • Ang unang simbolo,, ay responsable para sa pagsasama (isang pinahabang 'S').
   • Ang pangalawang bahagi ,, ay kumakatawan sa pagpapaandar nito. Kapag ito ay nasa loob ng integral, ito ay tinatawag pagsasama.
   • Sa wakas, ang pagtatapos ay nagpapahiwatig na may paggalang sa kung aling variable na pinagsasama mo. Tulad ng nakasalalay ang pagpapaandar, may kaugnayan dito na dapat gawin ang pagsasama.
   • Alalahanin na ang variable na naisama ay hindi palaging magiging, kaya mag-ingat sa iyong nai-type.

7. 

   Alamin kung paano makalkula ang mga integral. Ang pagsasama ay darating sa maraming mga form at kakailanganin mong malaman ang maraming iba't ibang mga formula upang maisama ang anuman at lahat ng mga pag-andar. Gayunpaman, lahat sila ay sumusunod sa mga prinsipyo na inilarawan sa itaas: ang pagsasama ay palaging nagdaragdag ng isang walang hanggan bilang ng mga bagay. Kabilang sa ilang mga modalities ay:
   • Pagsasama ng kapalit;
   • Kalkulahin ang hindi tiyak na integral;
   • Pagsasama ng mga bahagi.

8. 

   Maunawaan na ang pagsasama reverses ang epekto ng pagkita ng kaibahan at kabaligtaran. Ito ay isang pangunahing panuntunan sa calculus na may tulad na kahalagahan na nakakuha ito ng sariling pangalan: ang Pangunahing Teorema ng Calculus. Tulad ng pagsasama at pagkita ng kaibhan ay malapit na nauugnay, ang pagsasama ng parehong maaaring magamit upang matuklasan ang rate ng pagbabago, pagbilis, bilis, posisyon, kilusan at iba pa, anuman ang impormasyon sa iyong pagtatapon.
   • Tandaan, halimbawa, na ang derivative ng bilis ay ang bilis, kaya maaari mong gamitin ang isa upang makarating sa isa pa. Gayunpaman, kung alam mo ang pagpabilis ng isang bagay (tulad ng pagbagsak ng mga bagay dahil sa lakas ng grabidad) posible na isama upang makalkula ang bilis!

9. 

   Alamin na ang pagsasama ay nagbibigay-daan sa iyo upang makalkula ang dami ng mga three-dimensional na mga bagay. Ang pag-ikot ng isang hugis ay isang mahusay na paraan upang lumikha ng mga three-dimensional solids. Isipin ang iyong sarili na umiikot ng isang barya sa mesa sa harap mo - panoorin kung paano lumilitaw na bumubuo ng isang globo sa panahon ng pag-ikot nito. Mahahanap mo ang konsepto na ito upang makalkula ang dami sa isang proseso na kilala bilang "dami ng bawat rebolusyon".
   • Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang dami ng anumang solid sa mundo, hangga't mayroong isang pag-andar na sumasalamin dito. Posible na lumikha ng isang function na tumutukoy sa ilalim ng isang lawa, halimbawa, at gamitin ito upang matukoy ang dami nito (o kung magkano ang tubig na naglalaman nito).

Mga tip

• Itanong ang iyong mga katanungan sa pamamagitan ng pagkonsulta sa guro.
• Ang kasanayan ay humahantong sa pagiging perpekto. Gawin ang mga pagsasanay sa pag-aayos sa aklat-aralin (kasama ang mga hindi naipasa ng guro) at basahin ang mga sagot upang matulungan kang maunawaan ang mga nakaraang konsepto.